Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ (phần 3)

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích

1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 Giải phương trình

x2+x+32−−−−−√=94,(1)

Lời giải
ĐK : x≥−32.
Đặt x+32−−−−−√=t,t≥0 phương trình (1) trở thành :

(t2−32)2=94–t⇔t(t3−3t+1)=0⇔⎡⎣t=0  t3  −3t+1=0,(2)  

(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt x=2cost,t∈(0;π) để đưa về dạng : cos3t=−12

Tổng quát: Giải phương trình

x2+x+a−−−−√=a2

Với a là hắng số cho trước .

Ví dụ 16: Giải phương trình:

x3−3x2+2(x+2)3−−−−−−√=6x,(1)

Lời giải:
ĐK : x≥−2
Viết lại (1) dưới dạng :

x3−3x(x+2)+2(x+2)3−−−−−−√=0,(2)

Đặt t=x+2−−−−√≥0. Khi đó (2) trở thành :

x3−3xt2+2y3⇔(x−t)2(x+2t)=0

Do vậy x=t hoặc x=−2t
*x=t. Ta có :

x=x+2−−−−√⇔⎧⎩⎨x≥0  x2  −x−2=0  ⇔x=2

*x=−2t . Ta có :

x=−2x+2−−−−√⇔⎧⎩⎨x≤0 x2 −4x−8=0 ⇔x=2−23√

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x=2,x=2−23√

Ví dụ 17: Giải phương trình:

x+5+x−1−−−−√−−−−−−−−−√=0

Lời giải:
ĐK : x∈[1;6], (1)
Đặt t=x−1−−−−√,t≥0,   (2) phương trình đã cho trở thành :

t2+5+t−−−−√=5,   (3)

⇔t4−10t2−t+20=0⇔(t2+t−4)(t2−t−5)=0

Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :

x=11−17−−√2

Ví dụ 18: Giải phương trình:

x=(2006+x√  )(1−1−x√−−−−−−√  )

Lời giải:
ĐK : x∈[0;1],    (1)
Đặt t=1−x√−−−−−−√⇒  0≤t≤1. Khi đó:

x√=1−t2,x=(1−t2)2

phương trình đã cho trở thành :

(1−t2)2=(2006+1−t2)(1−t)2

⇔(1−t)2(1+t)2=(2007−t2)(1−t)2⇔2(1−t)2(t2+t−1003)

Vì 0≤t≤1 nên: t2+t−1003<0
Do đó phương trình tương đương với :

t−1=0⇔t=1

Do vậy x=0 (thỏa (1))

2. Dùng 2 ẩn phụ.
Ví dụ 9: Giải phương trình

4x2+5x+1−−−−−−−−−−√−2x2−x+1−−−−−−−−√=9x−3

Lời giải
Đặt a=4x2+5x+1−−−−−−−−−−√,b=2x2−x+1−−−−−−−−√

⇒  a2−b2=9x–3⇒  a−b=a2−b2⇔(a−b)(a+b−1)=0

*a−b=0⇒  x=13
*a+b−1=0  ⇒⎧⎩⎨a−b=9x−3  2a=9x−2  ⇒⎡⎣⎢x=0  x=5665  

Ví dụ 20: Giải phương trình

2(x2−3x+2)=3x3+8−−−−−√,   (1)

Lời giải:
ĐK : −2≤x≤1 hoặcx≥2
Đặt u=x2−2x+4−−−−−−−−−√,v=x+2−−−−√ ta có :

u2−v2=x2−3x+2.

(1) trở thành :

2(u2−v2)=3uv⇔  (2u+v)(u−2v)=0⇔  u=2v

(Do 2u+v>0)
Để tìm x, ta giải :

x2−2x+4−−−−−−−−−√=2x+2−−−−√⇔  x2−6x−4=0⇔  x=3±13−−√

Kết hợp với điều kiện, phương trình (1) có 2 nghiệm : x=3±13−−√

Ví dụ 21: Giải phương trình

5x2−14x+9−−−−−−−−−−−√−x2−x−20−−−−−−−−−√=5x+1−−−−√, \  (1)

Lời giải:
ĐK : x≥5
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:

(x+1)(5x+9)=x2+24x+5+10(x+4)(x−5)(x+1)−−−−−−−−−−−−−−−−√

⇔  2(x2−4x−5)+3(x+4)−5(x2−4x−5)(x+4)−−−−−−−−−−−−−−−−√=0,   (2)
Đặt u=(x2−4x−5)−−−−−−−−−−−√ và v=x+4−−−−√,u,v≥0. Thì:

(2)⇔  2u2+3v2−5uv=0⇔(u−v)(2u−3v)=0

* u=v ta có :x2−5x−9=0
* 2u=3v ta có : 4x2−25x−56=0
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: x=5+61−−√2,x=8

Ví dụ 22: Giải phương trình

x√+x(1−x)2−−−−−−−√4+(1−x)3−−−−−−√4=1−x−−−−√+x3−−√4+x2(1−x)−−−−−−−√4

Lời giải:
ĐK : 0≤  x≤  1
Đặt: ⎧⎩⎨u=x√4  v=1−x−−−−√4  ⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪u≥0  v≥0  u4  +v4  =1  
Từ phương trình ta được :

u2+uv2+v3=v2+u3+u2v

⇔  (u−v)(u+v)(1−u−v)=0

⇔  (u−v)(1−u−v)=0( Do u+v>0)

từ đó ta giải ra được các nghiệm :x=0,x=12,x=1

3. Dùng 3 ẩn phụ.
Ví dụ 23: Giải phương trình

7x+1−−−−−√3−x2−x−8−−−−−−−−√3+x2−8x+1−−−−−−−−−√3=2

Lời giải:
Đặt a=  7x+1−−−−−√3  ,b=−x2−x−8−−−−−−−−√3,c=  x2−8x+1−−−−−−−−−√3, ta có:

a+b+c=2

a3+b3  +c3=(7x+1)−(x2−x−8)+(x2−8x−1)=8,  \  (1)

Mặt khác:  (a+b+c)3=8,  \  (2)
Từ (1) và (2) ta có:

(a+b+c)3−  (a3+b3  +c3)=3(a+b)(b+c)(c+a)

Nên:

(a+b)(b+c)(c+a)=0  ⇔⎡⎣⎢⎢a=  −b  b=  −c  c=  −a  

Từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình: S=−1;0;1;9

Ví dụ 24: Giải phương trình

3x+1−−−−−√3+5−x−−−−√3+2x−9−−−−−√3−4x−3−−−−−√3=0,   (1)

Lời giải:
Đặt a=  3x+1−−−−−√3;b=5−x−−−−√3;c=2x−9−−−−−√3 Suy ra:

a3+b3+c3=4x−3

khi đó từ (1) ta có:

(a+b+c)3  =  (a3+b3  +c3)  ⇔  (a+b)(b+c)(c+a)=0

Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình: x=−3  ;  x=4  ;  x=85