Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình vô tỷ ( phần 4)

                                     
III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25: Giải phương trình x2+x+5−−−−√=5
Lời giải:
ĐK:  x≥−5
Đặt t=x+5−−−−√,t≥0. Khi đó: x=t2−5. Do đó ta có:

⎧⎩⎨x2  +t=5  t2  −x=5  ⇔⎧⎩⎨x2  +t=5  x2  −t2  +t+x=0  

⇔⎧⎩⎨x2  +t=5  (x+t)(x+1−t)=0  ⇔    ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎧⎩⎨x2  +t=5  x+t=0    ⎧⎩⎨x2  +t=5  x+1−t=0      

Giải hệ và kiểm tra điều kiện, ta được:

x=±1−21−−√2

Bài toán tổng quát: Giải phương trình

x2+x+a−−−−√=a

b. Dùng 2 ẩn phụ .
Đối với phương trình dạng

a+f(x)−−−−−−−√m+b−f(x)−−−−−−−√n=c

Ta đặt:  

u=a+f(x)−−−−−−−√m;v=b−f(x)−−−−−−−√n

Như vậy ta có hệ:

⎧⎩⎨u+v=c  um  +vn  =a+b  

Ví dụ 26: Giải phương trình

57−x−−−−−√4+x+40−−−−−√4=5,   (1)

Lời giải:
ĐK: −40≤x≤57
Đặt u=57−x−−−−−√4;v=x+40−−−−−√4
Khi đó:

(1)⇔⎧⎩⎨u+v=5  u4  +v4  =97  ⇔⎧⎩⎨u+v=5  2(uv)2−10uv+528=0  

⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪u+v=5  ⎡⎣uv=6  uv=44    ⇔⎧⎩⎨u+v=5  uv=6  

Ta thu được u=2;v=3hoặc u=3;v=2. Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .

Ví dụ 27: Giải phương trình

2√−1−x−−−−−−−−−√+x√4=12√4

Lời giải:
ĐK:  0≤x≤2√−1
Đặt: 2√−1−x−−−−−−−−−√=u;x√4=v Với 0≤u≤2√−1−−−−−−√;0≤v≤2√−1−−−−−−√4
Như vậy ta được hệ:

⎧⎩⎨⎪⎪u+v=12√4u2+v4=2√−1.⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪u=12√4−v(12√4−v)2+v4=2√−1

Giải (1):

(1)⇒(v2+1)2−(12√4+v)2=0⇒  v2−v+1−12√4=0

⇒v1,2=1±42√4−3−−−−−−√2,  (v1,2>0)

Vậy v1,2 (thỏa mãn điều kiện) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho .

Ví dụ 28: Giải phương trình:

74x√−1+x2−−−−−−−−−−−−√=(1−x√)2

Lời giải: 
Đặt: y=x√,y≥0;z=1−x√. Ta có:

⇔{y+z=1,   (1)uv=6⇔⎧⎩⎨  y+z=1  y4−z4=74x√  −1,  (2)  

Thế (1) vào (2) ta có

y4−(1−y)4=74y−1⇒4y(y−34)2=0⇔⎡⎣y=0y=34⇔⎡⎣x=0x=916

2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1: Phương trình dạng xn+b=aax−b−−−−−√n
Cách giải: Đặt t=ax−b−−−−−√n ta có hệ:

{xn+b=attn+b=ax

Ví dụ 29: Giải phương trình x3+1=22x−1−−−−−√3
Lời giải:
Đặt: t=2x−1−−−−−√3 ta có:

t3=2x−1⇒{x3+1=2tt3+1=2x⇔{x3+1=2tx3−t3=2(t−x)

⇔{x3+1=2t(x−t)(x2+t2+t+tx+2)=0

⇔{x=tx3−2x+1=0   (1)∨{x3+1=2tx2+t2+tx+2=0,   (2)

(1)⇔(x−1)(x2+x−1)=0⇔x=1∨x=−1±5√2

(2)⇔  (t+x)2+x2+t2+4=0,  (3)

Phương trình (3) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là: x=1;x=−1±5√2

Dạng 2: Phương trình dạng  x=a+a+x√−−−−−−√
Cách giải: Đặt t=a+x√

PT⇔  {x=a+t√t=a+x√

Ví dụ 30: Giải phương trình x=2007+2007+x√−−−−−−−−√
Lời giải:
ĐK: x>0
Đặt: t=2007+x√,  (1)

PT  ⇔{x=2007+t√,  (2)t=2007+x√,  (3)

Trừ từng vế của (3) cho (2) ta được:

x−t=t√−x√⇔  (t√−x√)(t√+x√+1)=0⇔  x=t

(1)⇒  x−x√−2007=0⇒x=8030+28029−−−−√4  (x>0)

Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược:
Ví dụ 31:  Giải phương trình x2−2x=22x−1−−−−−√
Lời giải: 
ĐK: x≥12. Đặt2x−1−−−−−√=ay+b. Chọn a,b để hệ:

(I){x2−2x=2(ay+b)(ay+b)2=2x−1,  (x≥12;y≥1  )

là hệ đối xứng.
Lấy a=1,b=−1ta được hệ:

{x2−2x=2(y−1)y2−2y=2(x−1)⇒  {x2−2x=2(y−1)x2−y2=0

Giải hệ trên ta được: x=y=2±2√
Đối chiếu với điều kiện của hệ (I) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là: x=2+2√

Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương trình : ax+b−−−−−√n=c(dx+e)n+αx+β
Với các hệ số thỏa mãn :

{d=ac+αe=bc+β

Cách giải: Đặt dy+e=ax+b−−−−−√n


Ví dụ 32: Giải phương trình:

4x+928−−−−−−√=7x2+7

Lời giải:
ĐK : x≥−94

PT⇔4x+928−−−−−−√=7(x+12)2−74

- Kiểm tra: a=17;b=928;c=7;d=1;e=12;α=0;β=−74.
Đặt

y+12=4x+928−−−−−−√

⇔y2+y+14=4x+928⇔  7y2+7y+74=x+94⇔  x+12=7y2+7,   (1)

Mặt khác : y+12=7x2+7,   (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x+12=7y2+7y+12=7x2+7

Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .

Ví dụ 33 : Giải phương trình

x2−6x+3=x+3−−−−√,x≥3.

Lời giải

PT⇔(x−3)2−6=x+3−−−−√

- Kiểm tra : a=1;b=3;c=1;d=1;e=−3;α=0;β=−6.
Đặt :

y−3=x+3−−−−√⇔y2−6y+9=x+3⇔  x−3=y2−6y+3,   (1)

Mặt khác : y−3=x2−6x+3,   (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :

{x−3=y2−6y+3y−3=x2−6x+3  

Các bạn tự giải hệ trên.

Ví dụ 34: Giải phương trình:

3x−5−−−−−√3=8x3−36x2+53x−25

Lời giải :

PT⇔  3x−5−−−−−√3=(2x)3−3.4x2.3+3.9.2x−27−x+2

⇔3x−5−−−−−√3=(2x−3)3−x+2

- Kiểm tra :a=3;b=−5;c=1;d=2;e=−3;α=−1;β=2.
Đặt :

2y−3=3x−5−−−−−√3⇔(2y−3)3=3x–5

⇔8y3−36y2+54y−27=3x−5

⇔8y3−36y2+53y−25=3x−y–3,   (1)

Mặt khác : 8x3−36x2+53x−25=2y–3,   (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :

{8x3−36x2+53x−25=2y−38y3−36y2+53y−25=3x−y−3

Các bạn tự giải hệ trên.
Các bạn có thể download file PDF tại đây: download