Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ (phần 2)

II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để

* Nội dung phương pháp:
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho:
Đưa phương trình về dạng sau:

f(x)−−−−√.Q(x)=f(x)+P(x).x

khi đó:
Đặt f(x)−−−−√=t,t>0. Phương trình viết thành:

t2−t.Q(x)+P(x)=0

Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình f(x)−−−−√=t sau khi đã đơn giản hóa và kết luận:

Ví dụ 10: Giải phương trình:

22x+4−−−−−√+42−x−−−−√=9x2+16−−−−−−−√, (1)

Lời giải:
ĐK: |x|≤2
(1)⇔4(2x+4)+162(4−x2)−−−−−−−√+16(2−x)=9x2+16
⇔  8(4−x2)+162(4−x2)−−−−−−−√=x2+8x
Đặt t=2(4−x2)−−−−−−−√. Lúc đó phương trình trở thành:

4t2+16t−x2−8x=0

Giải phương trình trên với ẩn t, ta tìm được:

t1=x2;t2=−x2−4

Do |x|≤2 nên t2<0 không thỏa điều kiện t≥0 .
Với t=x2 thì:

2(4−x2)−−−−−−−√=x2⇔⎡⎣⎢x≥0  8(4−x2)=x2    ⇔x=42√3

(thỏa mãn điều kiên |x|≤2)

Ví dụ 11: Giải phương trình:

x2+x+12x+1−−−−√=36

Lời giải:
ĐK: x≥−1
Đặt t=x+1−−−−√≥0, phương trình đã cho trở thành:

x.t2+12u−36=0⇔  t=−6±6tx

* Với t=−6−6tx , ta có:

(x+6)t=−6

(vô nghiệm vì: VT≥0;VP<0)
* Với t=−6+6tx , ta có:

6=(6−x)t

Do x=6 không là nghiệm của phương trình nên:

t=66−x⇔  x+1−−−−√=66−x

Bình phương hai vế và rút gọn ta được: x=3 (thỏa mãn)
Bạn hãy tự giải phương trình dạng tổng quát:

x2+ax+2bx+a−−−−√=b2

Ví dụ 12: Giải phương trình

3(2x2+1−−−−−−√−1)=x(1+3x+82x2+1−−−−−−√)

Lời giải:
Đặt 2x2+1−−−−−−√=t≥1. Phương trình đã cho viết thành:

3(t−1)=x+3(t2−1)−3x2+8xt⇔3t2−(8x−3)t−3x2+x=0

Từ đó ta tìm được t=x3 hoặc t=1−3x
Giải ra được: x=0.

* Nhận xét: Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên. Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó. Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do, việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn.

ví dụ 13: Giải phương trình:

2008x2−4x+3=2007x4x−3−−−−−√

Lời giải:
ĐK: x≥34
Đặt 4x−3−−−−−√=t≥0. Phương trình đã cho trở thành:

2008x2−2007xt−t2=0

Giải ra: x=t hoặc x=−t2008 (loại)
* x=t ta có:

x2−4x+3=0  ⇔⎡⎣x=1  x=3  

Vậy x=1,x=3 là các nghiệm của phương trình đã cho.

ví dụ 14: Giải phương trình:

(4x−1)x3+1−−−−−√=2x3+2x+1

Lời giải:
ĐK: x≥−1
Đặt t=x3+1−−−−−√. Phương trình đã cho trở thành:

2(t2−1)+2x+1=(4x−1)t⇔  2t2−(4x−1)t+2x−1=0

Phương trình trên đã khá đơn giản. Bạn đọc tự giải.