III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25: Giải phương trình x2+x+5−−−−√=5
Lời giải:
ĐK: x≥−5
Đặt t=x+5−−−−√,t≥0. Khi đó: x=t2−5. Do đó ta có:
⎧⎩⎨x2 +t=5 t2 −x=5 ⇔⎧⎩⎨x2 +t=5 x2 −t2 +t+x=0
⇔⎧⎩⎨x2 +t=5 (x+t)(x+1−t)=0 ⇔ ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎧⎩⎨x2 +t=5 x+t=0 ⎧⎩⎨x2 +t=5 x+1−t=0
Giải hệ và kiểm tra điều kiện, ta được:
x=±1−21−−√2
Bài toán tổng quát: Giải phương trình
x2+x+a−−−−√=a
b. Dùng 2 ẩn phụ .
Đối với phương trình dạng
a+f(x)−−−−−−−√m+b−f(x)−−−−−−−√n=c
Ta đặt:
u=a+f(x)−−−−−−−√m;v=b−f(x)−−−−−−−√n
Như vậy ta có hệ:
⎧⎩⎨u+v=c um +vn =a+b
Ví dụ 26: Giải phương trình
57−x−−−−−√4+x+40−−−−−√4=5, (1)
Lời giải:
ĐK: −40≤x≤57
Đặt u=57−x−−−−−√4;v=x+40−−−−−√4
Khi đó:
(1)⇔⎧⎩⎨u+v=5 u4 +v4 =97 ⇔⎧⎩⎨u+v=5 2(uv)2−10uv+528=0
⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪u+v=5 ⎡⎣uv=6 uv=44 ⇔⎧⎩⎨u+v=5 uv=6
Ta thu được u=2;v=3hoặc u=3;v=2. Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .
Ví dụ 27: Giải phương trình
2√−1−x−−−−−−−−−√+x√4=12√4
Lời giải:
ĐK: 0≤x≤2√−1
Đặt: 2√−1−x−−−−−−−−−√=u;x√4=v Với 0≤u≤2√−1−−−−−−√;0≤v≤2√−1−−−−−−√4
Như vậy ta được hệ:
⎧⎩⎨⎪⎪u+v=12√4u2+v4=2√−1.⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪u=12√4−v(12√4−v)2+v4=2√−1
Giải (1):
(1)⇒(v2+1)2−(12√4+v)2=0⇒ v2−v+1−12√4=0
⇒v1,2=1±42√4−3−−−−−−√2, (v1,2>0)
Vậy v1,2 (thỏa mãn điều kiện) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho .
Ví dụ 28: Giải phương trình:
74x√−1+x2−−−−−−−−−−−−√=(1−x√)2
Lời giải:
Đặt: y=x√,y≥0;z=1−x√. Ta có:
⇔{y+z=1, (1)uv=6⇔⎧⎩⎨ y+z=1 y4−z4=74x√ −1, (2)
Thế (1) vào (2) ta có
y4−(1−y)4=74y−1⇒4y(y−34)2=0⇔⎡⎣y=0y=34⇔⎡⎣x=0x=916
2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1: Phương trình dạng xn+b=aax−b−−−−−√n
Cách giải: Đặt t=ax−b−−−−−√n ta có hệ:
{xn+b=attn+b=ax
Ví dụ 29: Giải phương trình x3+1=22x−1−−−−−√3
Lời giải:
Đặt: t=2x−1−−−−−√3 ta có:
t3=2x−1⇒{x3+1=2tt3+1=2x⇔{x3+1=2tx3−t3=2(t−x)
⇔{x3+1=2t(x−t)(x2+t2+t+tx+2)=0
⇔{x=tx3−2x+1=0 (1)∨{x3+1=2tx2+t2+tx+2=0, (2)
(1)⇔(x−1)(x2+x−1)=0⇔x=1∨x=−1±5√2
(2)⇔ (t+x)2+x2+t2+4=0, (3)
Phương trình (3) vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là: x=1;x=−1±5√2
Dạng 2: Phương trình dạng x=a+a+x√−−−−−−√
Cách giải: Đặt t=a+x√
PT⇔ {x=a+t√t=a+x√
Ví dụ 30: Giải phương trình x=2007+2007+x√−−−−−−−−√
Lời giải:
ĐK: x>0
Đặt: t=2007+x√, (1)
PT ⇔{x=2007+t√, (2)t=2007+x√, (3)
Trừ từng vế của (3) cho (2) ta được:
x−t=t√−x√⇔ (t√−x√)(t√+x√+1)=0⇔ x=t
(1)⇒ x−x√−2007=0⇒x=8030+28029−−−−√4 (x>0)
Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược:
Ví dụ 31: Giải phương trình x2−2x=22x−1−−−−−√
Lời giải:
ĐK: x≥12. Đặt2x−1−−−−−√=ay+b. Chọn a,b để hệ:
(I){x2−2x=2(ay+b)(ay+b)2=2x−1, (x≥12;y≥1 )
là hệ đối xứng.
Lấy a=1,b=−1ta được hệ:
{x2−2x=2(y−1)y2−2y=2(x−1)⇒ {x2−2x=2(y−1)x2−y2=0
Giải hệ trên ta được: x=y=2±2√
Đối chiếu với điều kiện của hệ (I) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là: x=2+2√
Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương trình : ax+b−−−−−√n=c(dx+e)n+αx+β
Với các hệ số thỏa mãn :
{d=ac+αe=bc+β
Cách giải: Đặt dy+e=ax+b−−−−−√n
Ví dụ 32: Giải phương trình:
4x+928−−−−−−√=7x2+7
Lời giải:
ĐK : x≥−94
PT⇔4x+928−−−−−−√=7(x+12)2−74
- Kiểm tra: a=17;b=928;c=7;d=1;e=12;α=0;β=−74.
Đặt
y+12=4x+928−−−−−−√
⇔y2+y+14=4x+928⇔ 7y2+7y+74=x+94⇔ x+12=7y2+7, (1)
Mặt khác : y+12=7x2+7, (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x+12=7y2+7y+12=7x2+7
Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .
Ví dụ 33 : Giải phương trình
x2−6x+3=x+3−−−−√,x≥3.
Lời giải
PT⇔(x−3)2−6=x+3−−−−√
- Kiểm tra : a=1;b=3;c=1;d=1;e=−3;α=0;β=−6.
Đặt :
y−3=x+3−−−−√⇔y2−6y+9=x+3⇔ x−3=y2−6y+3, (1)
Mặt khác : y−3=x2−6x+3, (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
{x−3=y2−6y+3y−3=x2−6x+3
Các bạn tự giải hệ trên.
Ví dụ 34: Giải phương trình:
3x−5−−−−−√3=8x3−36x2+53x−25
Lời giải :
PT⇔ 3x−5−−−−−√3=(2x)3−3.4x2.3+3.9.2x−27−x+2
⇔3x−5−−−−−√3=(2x−3)3−x+2
- Kiểm tra :a=3;b=−5;c=1;d=2;e=−3;α=−1;β=2.
Đặt :
2y−3=3x−5−−−−−√3⇔(2y−3)3=3x–5
⇔8y3−36y2+54y−27=3x−5
⇔8y3−36y2+53y−25=3x−y–3, (1)
Mặt khác : 8x3−36x2+53x−25=2y–3, (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
{8x3−36x2+53x−25=2y−38y3−36y2+53y−25=3x−y−3
Các bạn tự giải hệ trên.
Các bạn có thể download file PDF tại đây:
download
