Bài tập chuyên đề Cực trị - Điểm uốn - tiệm cận hàm số

                                 

                                         CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ HÀM SỐ 

     Bài 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số sau: 

         a) ${\mathop{\rm y}\nolimits}  = \frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$            

         b) $y = \frac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{2x + 3}}$                     

         c)$y = x.\sqrt {4 - {x^2}} $ 

Bài 2. Cho hàm số :$y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + b{x^2} + cx + d$ .

          Tìm a, b, c, d để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, y(0) =0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, y(1) =1.

Bài 3. Cho hàm số : 

           $y = \frac{1}{3}m{x^3} - (m - 1){x^2} + 3.(m - 2)x + \frac{1}{3}$

          Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn điều kiện ${x_1} + 2{x_2} = 1$.

Bài 4. Cho hàm số:

          $y = \frac{2}{3}{x^3} + (\cos a - 3\sin a){x^2} - 8(c{\rm{os}}2a + 1)x + 1$ .

          Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện :${x_1}^2 + {x_2}^2 \le 18$ .

Bài 5. Tìm m để $f\left( x \right) = 2{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6m\left( {1 - 2m} \right)x$ có CĐ, CT nằm trên đường thẳng (d): y = -4x.

Bài 6. Tìm m để hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + {m^2}x + m$ có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua (d):$y = {\textstyle{1 \over 2}}x - {\textstyle{5 \over 2}}$ .

Bài 7. Tìm m để hàm số $y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 1$ có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

Bài 8. Cho $f\left( x \right) = {x^4} + 8m{x^3} + 3\left( {2m + 1} \right){x^2} - 1$. Tìm m để f(x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

Bài 9. Cho hàm số: 

            $y = 2{x^3} - 3.(2m + 1){x^2} + 6m(m + 1)x + 1$  (C)

Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại ${x_1},{x_2}$ đồng thời hiệu ${x_1} - {x_2}$ không phụ thuộc vào m.

Bài 10. Cho hàm số:$y = {x^3} + m{x^2} + 7x + 3$   (1).

Tìm m  để hàm số có CĐ,CT. Lập pt đường thẳng qua hai điểm cực trị ấy. 

Bài 11. Cho hàm số :  

             $y =  - {x^3} + 3(m + 1){x^2} - 3(2m + 1)x + 4$ ©

Tìm giá trị của m để © có cực đại, cực tiểu và hai điểm đó đối xứng với nhau qua điểm  I(0,4).

Bài 12. Cho hàm số: $y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} - x + m + 1$ .(C)

          Tìm m hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.

 

CHUYÊN ĐỀ: ĐIỂM UỐN - TIỆM CẬN HÀM SỐ

Bài 1. Cho hàm số : $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + b{x^2} + x - 4$ . 

Định a và b để điểm I(2, -6) là điểm uốn của đồ thị hàm số. 

Bài 2. Chứng minh rằng đồ thị hàm số: $y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ có ba đểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm uốn. 

Bài 3. Cho hàm số: $y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 5$ . Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.

Bài 4. Tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

          a)$y = \frac{{3{x^3} + 4}}{{(x - 1){{(x - 2)}^2}}}$                

          b) $y = \sqrt[3]{{{x^3} - x}}$                

          c)$y = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$

d) $y = x + \sqrt {{x^2} + x + 1} $          

e) $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$               
f)$y = \frac{{3{x^2} - 7x + 15}}{{x - 1}}$

Bài 5. Xác định hàm số: $y = \frac{{{\rm{ax}} + b}}{{cx + d}}$ (với c ≠ 0)  biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A(-1,7) và giao điểm của hai đường tiệm cận là I(-2,3).         

“N¬i nµo cã ý trÝ n¬i ®ã cã con ®­uêng”